Beräkna motstående katet

Hem / Historia, Vetenskap & Forskning / Beräkna motstående katet

På miniräknaren står det ofta sin^-1 etc istället. På så sätt kan vi fortsätta att hjälpa besökare som behöver hjälp med matten.

Äldre kommentarer

Trigonometri

Pythagoras sats anger det viktiga och användbara sambandet mellan de tre sidornas längder i en rätvinklig triangel.

Vinkeln v är i sin tur lika med arctan(värdet vi fick fram).

Hur stor är vinkeln v?

Om vi åter igen jämför vår triangel med den som står vid reglerna så ser vi att den här gången vet vi sidan a och sidan b. Det är dock viktigt att alltid ha en bild av vad det är man gör.

[math]\displaystyle{ Om~sin ~v = \frac{a}{h},~~då~ är~ v = arcsin(\frac{a}{h}) }[/math] eller [math]\displaystyle{ sin^{-1}(\frac{a}{h}) }[/math]

[math]\displaystyle{ Om ~cos~v = \frac{b}{h},~~då~är~v~ = arccos(\frac{b}{h})~eller~~ cos^{-1}(\frac{b}{h}) }[/math]

och på samma sätt för tangens.

Inversen kan uttryckas som att:

[math]\displaystyle{ sin^{-1}(sin(v))~=~v }[/math]

Viktigt
När använder man inversa trigonometriska funktioner? Om du känner två sidor samt söker vinkeln använder du arcsin, arccos eller arctan. Det är formeln vi ska använda oss av. Sätt in de värden du vet i formeln och lös sedan ekvationen för att få fram vinkeln. Vinkeln får ni fram genom att ta arctan2,4 (förmodligen tan^-1 på era grafräknare). Svar: Vinkeln v är 67,4°. Gillade du denna sida? 3 olika stora trianglar som har samma proportioner och lika stora vinklar. Vi ser att de är likformiga om vi jämför kvoten mellan motstående katet och hypotenusan: Vi kan alltså konstatera: om vinkeln i en rätsidig triangel är 30° så är kvoten mellan motstående katet och hypotenusan alltid 0,5. Om vinkeln istället hade varit t.ex. några grader större (32°) så skulle kvoten också bli lite större: Vi kan se att för varje vinkel finns det också en specifik kvot. Titta på reglerna för att se vilken formel som inkluderar de båda sidorna samt vinkeln v. vi ser också att vi vet vinkeln v och sidan c. Trianglar som har samma uppsättning av vinklar är likformighet\|likformiga. Detta innebär att om man känner till en vinkel i en rätvinklig triangel är även kvoten mellan sidorna känd. Ofta kallas arcsin där \(\sin^{-1}\), och analogt för cos och tan. Dessa två hänger ihop och den ena kan ses som den omvända av den andre. Vet vi t.ex. Eftersom vi känner till längden på hypotenusan, så använder vi oss av cosinus-funktionen för att bestämma längden på sidan b. $$\cos 48^\circ=\frac{b}{5,9}$$ $$5,9\cdot \cos 48^\circ=\frac{b}{5,9}\cdot 5,9$$ $$5,9\cdot \cos 48^\circ=b$$ En miniräknare kan på ett ungefär beräkna \(\cos(48 ̊)\). cosinus för vinkeln v. Vi sätter in våra tal: …och beräknar x: Svar: Hypotenusan är 7,8 Sammanfattningsvis, kan vi konstatera att följande formler kan vara bra att använda sig av då man behöver räkna ut en viss sida i en triangel eller kanske någon utav dess vinklar. Sidan a är ju x i detta fall. Svar: Sidan x är 9,4 cm lång. Cosinus och tangens Precis som vi tog fram sinus kan vi även få fram definitionerna på cosinus och tangens genom att bilda två andra kvoter. En viktig sak att notera är att \(\sin^{-1}\) inte är samma sak som \(\normalsize{\frac{1}{\sin}}\). De trigonometriska funktionerna kan ses som namn på de förhållanden som ställs upp mellan en rätvinklig triangels sidor. I detta fall vet vi att motstående katet = 9 och att vinkeln är 25°. Med en miniräknare får vi att: $$5,9\cdot \cos 48^\circ \approx5,9\cdot 0,6691$$ vilket ger: $$b\approx3,948\,\text{cm}$$ Tänk själv på om det även hade gått att använda sinusfunktionen för att bestämma sidan b. Utifrån vår figur ser vi att sidan a är motstående katet, så vi använder oss av sinus-funktionen för att hitta längden på sidan a (i det här läget hade vi även kunnat använda oss av tangens-funktion, eftersom vi nu känner till längden på den närliggande kateten): $$\sin 48^\circ=\frac{a}{5,9}$$ $$a=5,9\cdot \sin 48^\circ$$ $$a\approx5,9\cdot 0,7431$$ $$a\approx4,385\,\text{cm}$$ Längderna på de okända sidorna var alltså ungefär \(4,4\) cm (sidan \(a\)) och \(3,9\) cm (sidan \(b\)). Beräkna en okänd vinkel Frågan är om vi, givet en viss kvot, kan beräkna vilken vinkel det är som spänns upp av triangeln. Vi har bara förstorat den ursprungliga triangeln i varje steg – först fördubblat den och sedan med en faktor \(3\). Låt oss skriva upp en värdetabell för \(\sin v\), \(\cos v\) samt \(\tan v\) för respektive triangel. Med andra ord är de trigonometriska funktionernas värden enbart beroende av vinkeln i sig. Copyright ©cariron.pages.dev 2025

Viktigt

När använder man inversa trigonometriska funktioner?

Om du känner två sidor samt söker vinkeln använder du arcsin, arccos eller arctan.

Det är formeln vi ska använda oss av.

Sätt in de värden du vet i formeln och lös sedan ekvationen för att få fram vinkeln.

Vinkeln får ni fram genom att ta arctan2,4 (förmodligen tan^-1 på era grafräknare).

Svar: Vinkeln v är 67,4°.

Gillade du denna sida?

3 olika stora trianglar som har samma proportioner och lika stora vinklar.

Vi ser att de är likformiga om vi jämför kvoten mellan motstående katet och hypotenusan:

Vi kan alltså konstatera: om vinkeln i en rätsidig triangel är 30° så är kvoten mellan motstående katet och hypotenusan alltid 0,5.

Om vinkeln istället hade varit t.ex.

några grader större (32°) så skulle kvoten också bli lite större:

Vi kan se att för varje vinkel finns det också en specifik kvot. Titta på reglerna för att se vilken formel som inkluderar de båda sidorna samt vinkeln v. vi ser också att vi vet vinkeln v och sidan c. Trianglar som har samma uppsättning av vinklar är likformighet|likformiga.

Detta innebär att om man känner till en vinkel i en rätvinklig triangel är även kvoten mellan sidorna känd. Ofta kallas arcsin där $\sin^{-1}$, och analogt för cos och tan. Dessa två hänger ihop och den ena kan ses som den omvända av den andre. Vet vi t.ex. Eftersom vi känner till längden på hypotenusan, så använder vi oss av cosinus-funktionen för att bestämma längden på sidan b.

$$\cos 48^\circ=\frac{b}{5,9}$$

$$5,9\cdot \cos 48^\circ=\frac{b}{5,9}\cdot 5,9$$

$$5,9\cdot \cos 48^\circ=b$$

En miniräknare kan på ett ungefär beräkna $\cos(48 ̊)$.

cosinus för vinkeln v.

Vi sätter in våra tal:

…och beräknar x:

Svar: Hypotenusan är 7,8

Sammanfattningsvis, kan vi konstatera att följande formler kan vara bra att använda sig av då man behöver räkna ut en viss sida i en triangel eller kanske någon utav dess vinklar.

Sidan a är ju x i detta fall.

Svar: Sidan x är 9,4 cm lång.

Cosinus och tangens

Precis som vi tog fram sinus kan vi även få fram definitionerna på cosinus och tangens genom att bilda två andra kvoter.

En viktig sak att notera är att $\sin^{-1}$ inte är samma sak som $\normalsize{\frac{1}{\sin}}$. De trigonometriska funktionerna kan ses som namn på de förhållanden som ställs upp mellan en rätvinklig triangels sidor. I detta fall vet vi att motstående katet = 9 och att vinkeln är 25°. Med en miniräknare får vi att:

$$5,9\cdot \cos 48^\circ \approx5,9\cdot 0,6691$$

vilket ger:

$$b\approx3,948\,\text{cm}$$

Tänk själv på om det även hade gått att använda sinusfunktionen för att bestämma sidan b.

Utifrån vår figur ser vi att sidan a är motstående katet, så vi använder oss av sinus-funktionen för att hitta längden på sidan a (i det här läget hade vi även kunnat använda oss av tangens-funktion, eftersom vi nu känner till längden på den närliggande kateten):

$$\sin 48^\circ=\frac{a}{5,9}$$

$$a=5,9\cdot \sin 48^\circ$$

$$a\approx5,9\cdot 0,7431$$

$$a\approx4,385\,\text{cm}$$

Längderna på de okända sidorna var alltså ungefär $4,4$ cm (sidan $a$) och $3,9$ cm (sidan $b$).

Beräkna en okänd vinkel

Frågan är om vi, givet en viss kvot, kan beräkna vilken vinkel det är som spänns upp av triangeln.

Vi har bara förstorat den ursprungliga triangeln i varje steg – först fördubblat den och sedan med en faktor $3$.

Låt oss skriva upp en värdetabell för $\sin v$, $\cos v$ samt $\tan v$ för respektive triangel. Med andra ord är de trigonometriska funktionernas värden enbart beroende av vinkeln i sig.